Entrevista con Oscar Bruno.

Con motivo de la creación de la Comisión de Transferencia del DM, entrevistamos a Oscar Bruno, profesor de matemática aplicada y computacional en Caltech, acerca de su visión sobre la matemática aplicada y su experiencia personal en actividades de transferencia. 

Ud. estudió matemática pura, ¿cómo fue su experiencia de migrar a la matemática aplicada?

Más que una migración de la matemática pura hacia la aplicada tiendo a pensar en una estadía en el amplio mundo de la matemática. Ese mundo que incluye tanto el álgebra como la geometría; que conecta tanto con la ingeniería como con la lógica, la estadística, el análisis numérico y el diseño de algoritmos computacionales. ¡No es una belleza, por ejemplo, la teoría de probabilidades, que nos permite entender el acaecer de eventos que dependen del azar! ¡No es prodigiosa la física, que nos permite viajar a los planetas, que nos ayuda a entender a las estrellas y el universo—y que hace posible la existencia de aparatitos que logran, en muchos casos, lo que hasta hace pocos años sólo era concebible como resultante de alguna mediación con la magia! Y qué belleza, me parece, que todas estas maravillas matemáticas sean compañeras—que todas ejerzan mutua influencia y que, de hecho, dependan cada una, en su justa medida, de todas las otras.

O sea que en su caso prefiere ver la matemática toda en su conjunto y en armonía con las ciencias y la tecnología.

Así es. Siempre traté de pertenecer a un entorno científico que me permita participar en trabajos matemáticos sobre cualquier tipo de tema—con una cierta determinación de que, en buena parte de los casos, se me presente la oportunidad de trabajar en problemas que relacionen las ciencias y la pureza del razonamiento matemático. Esta actitud efectivamente requirió una cierta “migración”—volviendo a su primera pregunta—a través de varias áreas de la matemática, la ciencia computacional, la física y la ingeniería. Hoy en día todas estas especialidades están muy compartimentadas, y no es fácil ganar acceso a ellas mientras, además,  preservamos, como elemento esencial de la profesión, la pureza y perfección del razonamiento matemático. Pero creo que, con una clara motivación y una fuerte ambición es posible sortear las barreras que se encuentran.

¿La pureza y la perfección del razonamiento  matemático no se contraponen a la “contingencia” de la realidad?

No lo creo. Consideremos, como un ejemplo simple, el famoso teorema que dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o. El carácter del proceso mental que lleva a esta conclusión (que incluye, como elemento esencial, la igualdad de los ángulos correspondientes que se forman cuando una recta transversal corta a un par de paralelas) podría considerarse un ejemplo prototípico, a pesar de su extrema simplicidad, de lo que llamamos “razonamiento matemático”. El impacto práctico de este teorema es enorme—la trigonometría, con su innegable poder, y su extensión en el análisis matemático, y por lo tanto la física y las ciencias, ni más ni menos, dependen, en gran medida, de este resultado. Pero, ¿cómo podríamos haber obtenido ese resultado sin apelar al “puro” razonamiento matemático que nos lo entrega?  Creo que más que oponerse, la pureza del razonamiento matemático y la contingencia de la realidad dependen el uno del otro. Así como la matemática impacta en el mundo real lo reciproco también es cierto. Por eso creo que cualquier intuición, sin importar su origen, agrega un contenido muy rico a las ideas y los razonamientos puros de la matemática.

¿Podría dar más ejemplos de esta sinergía y vinculación entre lo aplicado y lo puro?

Continuando con ejemplos de triángulos, recordemos la medición que condujo Gauss [1] de la suma de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices eran los picos de tres montañas [2]—cuyas implicaciones sobre la curvatura del espacio, la gravitación y la relatividad general son conocidas. Las motivaciones de este ejercicio notable parecen emanar, simultáneamente, del rigor del cual era indudablemente dueño el “príncipe de las matemáticas”, y de su interés en el mundo real. Aquí no parece haber distinción entre lo uno y lo otro. No creo que corresponda afirmar que este estudio es propio de la matemática pura, pero tampoco puedo afirmar que es matemática aplicada. Cualquiera de las dos clasificaciones, me parece, no es suficiente para contener la grandeza del estudio.

En el caso de las aplicaciones: ¿Podría suceder que la ambición de arribar a resultados concretos en ciencia, o en ingeniería vaya gradualmente degradando el foco de rigor de los métodos de razonamiento matemático?

Creo que tal relación de causa y efecto no existe. Por ejemplo, con la misma determinación con la que un cuerpo de profesores que van cambiando con el tiempo pueden mantener el carácter de un departamento de matemática pura, un grupo dedicado puede desarrollar una cultura en la que, al mismo tiempo que se promueve el rigor matemático en toda su intensidad, se incorpora una fuerte componente que concierne a las ciencias, la ingeniería, y/o la industria. Tales culturas han existido. La larga trayectoria matemática en la Universidad de Göttingen nos provea un ejemplo estimulante. Entre los matemáticos que han enseñado o estudiado en esa universidad encontramos (en orden alfabético, y entre otros grandes matemáticos y científicos [3]) a Max Born (Física Matemática), Constantin Carathéodory (Matemática), Richard Courant (Matemática), Peter Debye (Física Matemática), Richard Dedekind (Matemática), Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Matemática), William Feller (Matemáticas), Carl Friedrich Gauss (Astronomía, Geodesia, Matemática, Física), Kurt Gödel (Lógica matemática), Alfréd Haar (Matemática), David Hilbert (Matemática), Heinz Hopf (Matemáticas), Ernst Ising (Matemática), Saunders Mac Lane (Matemáticas), Hermann Minkowski (Matemáticas), Emmy Noether (Matemática), Johann Radon (Matemática), Frigyes Riesz (Matemáticas), Bernhard Riemann (Matemáticas), Walther Ritz Riemann (Matemática), Carl Runge (Matemáticas), Hermann Amandus Schwarz (Matemáticas), Otto Toeplitz (Matemática), Bartel Leendert van der Waerden (Matemáticas), Hermann Weyl (Matemática), Norbert Wiener (Matemática), Ernst Zermelo (Matemáticas). Creo que la mayoría de los matemáticos del presente, en todo tipo de especialidades dentro de la matemática, encontrarán varios gigantes de sus propias áreas de investigación entre estos nombres. Claramente, al menos en este caso, estudios matemáticos rigurosos del más alto calibre han ido mano en mano con las ciencias y la ingeniería. Y, me atrevo a sugerir, la grandeza de esta institución debe encontrar su base, al menos en parte, en esta fantástica combinación de rigor matemático y conexión con la ciencia y la tecnología.

Sin embargo en algunos ámbitos se da una mutua resistencia entre matemática aplicada y  matemática pura, ¿qué opina de esto? 

Es verdad: en muchos casos establecemos fronteras en cuyo contexto los percibidos riesgos e incertidumbres profesionales nos resultan tolerables. Pero, reconsideremos: ¿Se justifica tal recelo en nuestro caso? En lo que concierne a la matemática, la “pura” y la “aplicada”, tal recelo suele explicarse desde esa perspectiva un poco simplista, según la cual el beneficio material y la elevación intelectual se contraponen: el uno vil (si bien, necesario), la otra noble (aunque tal vez menos “práctica”). Le confieso: la pretensión, que a veces se encuentra, de que la matemática pura es inútil, me irrita tanto como la sugerencia, que también encontramos, de que la matemática aplicada es una disciplina poco noble. Crudamente, podríamos sugerir que si hay algo que puede ser inútil o escaso debemos ser nosotros, no la pobre matemática. Quiero decir, por ejemplo: ¿Vamos a pensar que el trabajo de Gauss sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo, en tanto en que se aplica a otra disciplina (la física), pertenece a una disciplina de escasa nobleza? ¿O, vamos a sugerir que el trabajo de Gödel sobre la completitud de los sistemas axiomáticos de la matemática no es útil? Por si nos queda alguna duda, recordemos que, además de su tremendo valor desde un punto de vista intelectual (¡que, desde ya, diría, lo convierte en “útil”!), el trabajo de Gödel tiene proyecciones que incluyen el teorema de Turing acerca del problema de “halting” —es decir, el problema de decidir si un dado programa de computadora bajo una dada condición inicial necesariamente completa su corrida en un número finito de pasos.  Evidentemente, un problema aplicado”. Dados estos ejemplos, como tantos otros que conocemos, me parece que, más que recelo, deberíamos encontrar compañía y estímulo en la diversidad. Una interacción que cruza fronteras puede ser muy productiva.

Y queda claro que no es la utilidad concreta por sí misma lo que define la matemática aplicada en un sentido amplio.

Diría que la utilidad concreta resulta del carácter de la disciplina. Pero, según creo, la esencia de la matemática aplicada es la ambición, que la define, de calcular las consecuencias y evaluar el potencial de las relaciones matemáticas que existen en la naturaleza y en la ingeniería. ¿Diríamos, por ejemplo, que el trabajo de Alfréd Haar en 1909 sobre sistemas ortogonales es enteramente aplicado en vista de sus importantes conexiones con los modernos sistemas de ondeletas (wavelets) que se usan para representar imágenes y sonidos en los sistemas de computadoras que usamos todos los días? No es difícil imaginar una discusión en la que el carácter teórico del trabajo original de Haar (que buscaba exhibir una base del espacio de funciones de cuadrado integrable en el intervalo (0,1)), así como los billones de dólares que han generado estas ideas, se propongan, de manera sucesiva, con el propósito de demostrar que alguna de las nomenclaturas es la más precisa: es matemática pura o es matemática aplicada. Pero dudo que una tal discusión resulte productiva.

Tomemos un punto de vista diferente. Digamos que todo empieza con los estudiantes y sus ambiciones. Imaginemos una hipotética institución en la que los estudiantes de matemática son expuestos, entre otros temas, a los elementos básicos de la física y el análisis numérico, junto con el álgebra, el análisis y otras áreas de la matemática (lógica, geometría, probabilidades y estadística, etc.) Algunos estudiantes tienen un mayor interés en algunas áreas, algunos en otras, Todos tienen bien claro el panorama general. Con el ojo de la mente vemos que hay interés en estos estudios: una variedad de empresas e instituciones nos lo han hecho saber. Estas incluyen compañías que extraen petróleo o que fabrican implementos de la industria petrolera; otras que utilizan redes sociales; aún otras que diseñan satélites y sistemas de lanzamiento; otras que consideran generación de energía de varios tipos, incluyendo eólica, solar, nuclear; etc. También hay institutos científicos que nos han contactado: desean que nuestro imaginario instituto considere sus ecuaciones, y que les ayuden a encontrar las soluciones que les dirían de qué forma se comportan los ejes magnéticos de los planetas y las estrellas; otros quieren colaborar en la resolución de las ecuaciones de la mecánica; aún otros desean estudiar problemas relacionados a la medicina, la microbiología, la farmacología. Todos necesitan soluciones. En la mayoría de los casos, ni los estudiantes ni los profesores del hipotético departamento matemático pueden producir las deseadas respuestas. Al menos, no de manera inmediata, usando métodos, o programas de computadora, o conocimientos existentes. Pero esto es de esperar: una solución conocida no se les hubiera escapado a estos científicos que imaginamos. Lo que se necesita es una solución nueva. Así es que nos encontramos en la situación ideal para el desarrollo de la matemática aplicada: nos enfrentamos a un problema de interés práctico para cuya formulación matemática no conocemos solución.

¿Qué rol posee, en su opinión, la matemática en la sociedad actual?

Las ciencias, así como la ingeniería y las industrias asociadas, dependen en gran medida de la matemática. Tanto el diseño de dispositivos electrónicos y fotónicos, como el estudio de terremotos y ondas sísmicas, y el diseño de aeronaves y naves espaciales, el control de dispositivos de toda clase, la investigación en la química, y la bioquímica, la medicina, la computación, entre muchos otros ejemplos, requieren tratamientos matemáticos de altísima sofisticación. En muchos casos tales estudios quedan a cargo de ingenieros y científicos que, a pesar de contar con una formación matemática limitada, y a fuerza de puro talento e intuición, llevan a cabo los estudios matemáticos necesarios. Pero, habiendo tenido el privilegio de interactuar con un número de ellos, he podido ver que avances muy significativos pueden suceder gracias a la participación de matemáticos —que, en vistas de una formación especializada, manejan un lenguaje y un grado mayor de especialización, que puede dar lugar a impactos no solo cuantitativos sino cualitativos: lo que podría considerarse como imposible a veces se vuelve practicable, en muchas circunstancias, gracias a contribuciones de matemáticos de carrera— tales como los que mencionamos más arriba, y todos los otros que, desde el pasado más remoto, han dado cuerpo a la matemática.

Respecto de las aplicaciones, si por un lado consideramos la urgencia de resolver un problema práctico concreto y por el otro el tratamiento formal que la matemática requiere, ¿cómo se reconcilian según su perspectiva estos extremos en la vida de un matemático?

Esta pregunta representa una preocupación muy razonable: ¿cómo podemos organizar este flujo de problemas y trabajos en la práctica? ¿Será que un contrato con una empresa, o una colaboración con otros científicos, requieren que produzcamos una cierta respuesta antes de una fecha prescripta? ¿Cómo podemos aceptar un tal desafío sabiendo que (¡como será fácil admitir!) la solución de un problema cualquiera requiere una cantidad indeterminada de tiempo, y que, además, debemos aceptar la posibilidad de que seamos incapaces de producir una solución? Afortunadamente estas dificultades se pueden abordar muy naturalmente en el tipo de estructura que existe en un clásico departamento de matemáticas: las organizaciones científicas sin fines de lucro (estatales y privadas) estimulan la investigación en áreas que quedan determinadas, en cierta medida, por el interés de los investigadores. Los proponentes de un problema dado, por otro lado, están dispuestos a aceptar un posible fracaso. De este modo, un contacto con los problemas matemáticos de las ciencias puede estimular el progreso en las ciencias así como en la propia matemática. Y esto incluye al tratamiento formal al que se refería en su pregunta. Dada la estructura de todas estas organizaciones, hay tiempo para estudiar, mano en mano con el proyecto de carácter práctico que lo origina, las formalidades de un tratamiento matemático riguroso. Creo que, en muchos casos, esta dualidad puede resultar muy productiva y estimulante.

 

Actividades de Transferencia

¿Cree que es importante que los departamentos de matemática hagan actividades de transferencia?

Creo que es fundamental que los departamentos de matemática estén informados e interesados en los problemas de carácter matemático que se originan en el contexto de actividades científicas, industriales, etc. Y, ciertamente, una manera de obtener un contacto directo es tener contactos con institutos o empresas con intereses comunes. Tales contactos nos ayudan a desarrollar una actitud positiva con respecto a los desafíos variados que se presentan cuando abrimos las puertas al exterior. Uno o unos pocos tales desafíos pueden dar lugar, como mencionábamos antes, no sólo a progreso substantivo en la particular área de aplicación sino, además, a importantes líneas de investigación, posiblemente en áreas de matemática teórica, o computacional, o alguna combinación útil de ellas, con alguna aplicación que siga proveyendo nuevos desafíos, y que siga recibiendo el apoyo de los resultados matemáticos. Creo que así se puede mantener una actividad muy útil y gratificante en nuestra profesión.

¿Se involucra en actividades de transferencia desde su cargo en la universidad?¿A qué sectores? ¿Puede mencionar algunos ejemplos?

Así es. Empecé a trabajar en colaboración con científicos e ingenieros, incluyendo a experimentalistas y científicos industriales, muy temprano en mi carrera. Ya durante mi postdoc en la Universidad de Minnesota trabajé en un problema que surgió de un experimento en transformaciones martensíticas en aleaciones metálicas, el cual logramos modelar como un problema de Stefan Signorini con intercambio de calor, cuya soluciones, numérica, por un lado, y por métodos de perturbación asintótica, por el otro, ambas coincidían, cuantitativamente, con una cierta observación experimental clave (una cierta dependencia que se observaba en los resultados de un experimento de tensión en la velocidad a la que se realiza el experimento). El resultado matemático fue muy útil en la interpretación del experimento, y, además, dio lugar a nuevas predicciones bastante inesperadas que subsiguientemente se comprobaron experimentalmente. Este fue un comienzo extremadamente estimulante para mí. Unos pocos meses más tarde, también durante mi postdoc, me involucré en un proyecto que provino de la compañía 3M, que requería el desarrollo de un método para ciertos problemas en electromagnetismo. Todo esto fue realizado en el contexto de mi trabajo postdoctoral, y no requirió ningún tipo de apoyo financiero por parte de la compañía. Los buenos resultados de estas colaboraciones dieron lugar a una variedad de otros proyectos, algunos para agencias del gobierno, en problemas relacionados con la teledetección, las comunicaciones, diseños de estructuras fotónicas. Una colaboración con una empresa de aeroespacio, por ejemplo, llevó a soluciones de problemas computacionales en óptica que requerían el cálculo, desde el punto de vista del electromagnetismo, de la magnitud de la luz prevalente en la zona-de-sombra de una pantalla con forma de flor (un círculo con pétalos), con 12 dígitos de precisión—dado que se calcula que la luz proveniente de un planeta es 10-11 veces menos intensa que la luz misma que proviene de la estrella correspondiente, y dado que ciertas aproximaciones habían previamente indicado que el uso de tal tipo de pantalla podría ser beneficioso. Basado en estos análisis se condujo un estudio de factibilidad a escala de un sistema telescopio/pantalla, que aún continúa; la idea es que la pantalla, que, por diseño, es una “flor” de aproximadamente 50 metros de radio, se colocará a una distancia de aproximadamente 50.000 km del telescopio de tal modo que sólo permitirá el pasaje de la luz planetaria, y no la de la estrella, y así logrará la detección de planetas próximos a estrellas. He tenido la suerte de participar en un buen número de trabajos de este tipo. En el presente hay mucho interés en optimización de estructuras fotónicas, así que un graduado reciente de nuestro departamento de Ingeniería Eléctrica (IE) en Caltech se nos unió como postdoc en mi grupo en el departamento de matemática aplicada. El trabajo de este colaborador, que es muy sofisticado matemáticamente, concierne el diseño de guías de onda en la región de microondas, que prometen avances significativos en el diseño de estructuras de variada aplicación; nos han dicho que los diseños que resulten serán fabricados y estudiados por el grupo en IE. Otro nuevo trabajo concierne diseño de lentes para el procesamiento de luz por medio de nanopostes cuyas alturas son del órden de cientos de nanómetros, los que, organizados de alguna manera adecuadamente optimizada, pueden procesar la luz selectivamente—por frecuencia, polarización, dirección de incidencia, etc.—que, se espera, podrán aplicarse como elementos de importancia central en nuevos tipos de sensores, cámaras, filtros ópticos, etc. Algunos trabajos relacionados a la medicina también son altamente desafiantes. He participado en algunos de tales proyectos, incluyendo uno que concierne el ultrasonido médico de alta intensidad, (lo cual se usa para la cura de ciertos tipos de cáncer), así como, en otro caso, un proyecto que involucra el “acarreo” de substancias con propiedades quimioterapéuticas por medio de partículas ferro-eléctricas microscópicas—que se inyectan en el flujo sanguíneo, y que, subsiguientemente, se atraen, por medio de campos magnéticos apropiados, a la zona que contiene un tumor—enviando, de este modo la medicina anti-cancerígena precisamente a la zona en la que se necesita.

En mis breves visitas a Argentina también he encontrado algunas manifestaciones de interés por parte de instituciones tales como la CONAE (en relación con trabajos en INVAP), el INTI, Tenaris, y la Armada Argentina, así como institutos del CONICET y el departamento de Física de Exactas. Creo que si se formara en Argentina un pequeño grupo de matemáticos con el interés y la formación necesarios para colaborar con estas instituciones, seguramente muchos proyectos podrían llevarse a cabo con gran provecho.

¿Cómo se organizan y coordinan esas actividades de transferencia? ¿Involucran a todo el plantel del departamento de matemática o solo a un sector?

En mi experiencia, actividades de este tipo han sido exitosas sobre la base a un grupo pre-existente de colaboradores matemáticos (incluyendo a uno o mas profesores, estudiantes, postdocs) que acepta, con financiamiento o sin él, según sea factible y practicable, conducir un esfuerzo cuyo objetivo es la solución de un cierto problema. En algunos casos financiamiento por parte de industrias u otras instituciones pueden permitir proveer sueldos para estudiantes o postdocs, o para la compra de algún equipo que sea necesario. En contraste, he conocido departamentos y centros que, tal como el IMA en Minneapolis o el IPAM en Los Angeles, han organizado por muchos años eventos destinados a estimular el interés por las aplicaciones de la matemática. Creo que estos han sido muy exitosos y estimulantes para sus participantes, pero no recuerdo casos de colaboraciones científicas del tipo que mencionábamos que hayan sido organizadas a nivel institucional por parte de estos centros. En lugar de depender de una fuerza organizativa proveniente de un departamento de matemática, parece ser más efectivo organizar seminarios dados por científicos interesados en aplicaciones específicas. En poco tiempo las interacciones empiezan a fluir por sí mismas—si hay suficiente interés y empeño.

Considerando que las tareas de transferencia pueden ser muy demandantes en tiempo y esfuerzo y en consecuencia interferir con el trabajo académico estándar (producción de artículos), ¿en qué forma los investigadores deberían obtener reconocimiento por actividades de este tipo?

Es muy bueno que volvamos sobre este tema, así que le agradezco la pregunta. Un dado proyecto de investigación puede ser la base del trabajo académico de un matemático de carrera. Un estudio motivado en un problema industrial, digamos, puede estimular investigaciones de tipo teórico, nuevos métodos computacionales, resultados concretos en el área de aplicación, etc. Todos estos resultados—teóricos, computacionales y prácticos—podrán ser publicados (tal vez con alguna modificación en los detalles específicos de la aplicación para evitar dificultades con respecto a la propiedad intelectual) en artículos en revistas de matemática y otras áreas. No creo que haya interferencia entre el trabajo académico y las aplicaciones. ¡Todo lo contrario!

[2] Nuevamente el teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo hace una aparición estelar.